Question

周期函数的定积分的问题

设f(x)是定义在R上，且以T为周期的连续函数，a为任意常数，证明：f(x)在a到a+T上的定积分= f(x)在0到T上的的定积分

Answer 1

换元即可
∫[a,a+T] f(x) dx 令 u = x﹣a, du = dx
= ∫[0,T] f(u) du
= ∫[0,T] f(x) dx

追问

换元后被积函数应该是f(u+a)哦，还没可以变到f(u)

追答

对啊，晕了。
∫[a,a+T] f(x) dx = ∫[a,0] f(x) dx + ∫[0,T] f(x) dx + ∫[T,a+T] f(x) dx
其中
∫[a,0] f(x) dx + ∫[T,a+T] f(x) dx
= ∫[a,0] f(x) dx + ∫[0,a] f(u+T) du
= ∫[a,0] f(x) dx + ∫[0,a] f(u) du
= 0

Answer 2

这个可以用图像解释，因为每个周期内图形是一样的，那么其积分肯定一样（不论正负都一样）