Question

数列{an}的通项an=n2(cos2(n派/3)-sin（2n派/3)，其前n项和为Sn

(1)求Sn
(2)令bn=S3n/(n乘以4的n次方),求数列{bn}的前n项和Tn
问题打错了 是“数列{an}的通项an=n的平方*[(cos(n派/3)的平方-sin(n派/3)的平方]，其前n项和为Sn”

Answer 1

不太明白cos2(n派/3)和sin2(n派/3)中的2是平方，还是2倍。
如果是平方显然可以逆用二倍角公式，化为cos（2/3×nπ），它是以3为周期的数列
分别取值-√3/2，-√3/2，1，看来不像。
如果是2倍，也是以3为周期，分别取值-√3/2+1/2，-√3/2-1/2，1，更不像。

不管哪一种，肯定是用上述的周期数列乘上n²。分3种情况——n≡0，n≡1，n≡2（mod3）
提出这个周期数列，对剩余部分求和。（注：∑n²=1/6×n（n+1）（2n+1））

追问

不好意思我打错了，现在又重打了一便，应该是现在的上面的式子

追答

解：由二倍角公式得
an=n²cos（2/3×nπ）
n被3整除时，an=n²
n被3除，余1时，an=n²cos（2/3 π）=﹣½n²
n被3除，余2时，an=n²cos（4/3 π）=﹣½n²
（1）Sn=﹣½×1²﹣½×2²+3²﹣½×4²﹣½×5²+6²+……
1）n被3整除时。
Sn=【3²﹣½×1²﹣½×2²】+【6²﹣½×4²﹣½×5²】+……+【n²﹣½(n-1)²﹣½(n-2)²】
每个中括号内
【k²﹣½(k-1)²﹣½(k-2)²】=【½（k²﹣(k-1)²）+½（k²﹣(k-2)²）】
=【½（k+k-1）（k-k+1）+½（k+k-2）（k-k+2）】
=【½（2k﹣1）+（2k﹣2）】=3k﹣5/2
∴Sn=∑（3k﹣5/2）=½n²+2/3 ×n ————①
2）n被3除余1时，Sn=S{n-1}+an
∵（n﹣1）能被3整除，∴S{n-1}=½（n﹣1）²+2/3×（n﹣1）=½n²﹣1/3n﹣1/6
∵an=﹣½n²，∴Sn=﹣1/3×n﹣1/6————②
3）n被3除余2时，用同样的方法得Sn=﹣½n²﹣1/3n+1/6————③
等式①②③即为第（1）问答案
（2）由等式①，S{3n}=9/2×n²+2n
∴bn=（9/2×n+2）/（4^n）=（9/2×n+2）×（1/4）^n
对它求和，Tn=∑（9/2×k+2）×（1/4）^k————④
④×1/4得1/4Tn=∑（9/2×k+2）×（1/4）^(k+1)——⑤
④﹣⑤得3/4Tn=（9/2+2）×（1/4）+∑9/2（1/4）^(k+1)﹣（9/2×n+2）×（1/4）^(n+1)
=13/8+3/8×【1﹣(1/4)^n】﹣（9/2×n+2）×（1/4）^(n+1)
=2﹣3/2×（1/4）^n﹣9/2n×（1/4）^（n+1）
∴Tn=8/3﹣2×（1/4）^n﹣6n×（1/4）^（n+1）

计算不一定准确，请楼主自己再验证一下。