Question

求证：1²－2²+3²－4²+···+（2n－1）²－（2n）²

Answer 1

用平方差公式比较简单：
1²－2²+3²－4²+···+（2n－1）²－（2n）²
=(1²－2²)+(3²－4²)+···+[（2n－1）²－（2n）²]
=(1+2)(1-2)+(3+4)(3-4)+...+[(2n-1)+2n][(2n-1)-2n]
=-(1+2)-(3+4)-...-[(2n-1)+2n]
=-[1+2+3+4+...+(2n-1)+2n]
=-(2n)(2n+1)/2
=-n(2n+1)

如果用数学归纳法：
证：
n=1时，1²-2²=1-4=-3
-1×(2×1+1)=-1×3=-3
1²-2²=-1×(2×1-1)，等式成立。
假设当n=k(k∈N，且k≥1时等式成立，即
1²-2²+3²-4²+...+(2k-1)²-(2k)²=-k(2k+1)，则当n=k+1时，
1²-2²+3²-4²+...+(2k-1)²-(2k)²+(2k+1)²-(2k+2)²
=-k(2k+1)+(2k+1)²-4(k+1)²
=(2k+1)(-k+2k+1)-4(k+1)²
=(2k+1)(k+1)-4(k+1)²
=(k+1)[(2k+1)-4(k+1)]
=(k+1)(-2k-3)
=-(k+1)[2(k+1)+1]
等式同样成立。
综上，得1²-2²+3²-4²+...+(2n-1)²-(2n)²=-n(2n+1)。

Answer 2

求证的话应该是恒等式，你是求解吧？

追问

用数学归纳法 解

追答

我觉得你这个题目应该是证明1²－2²+3²－4²+···+（2n－1）²－（2n）²=-n(2n-1) 吧？是用数学归纳法来证。

追问

嗯 对对对