Question

已知:如图,四边形ABCD中,BC=CD,∠B+∠D=180°。求证:AC平分∠BAD。（至少用四种方法证明，多证多送积分）

Answer 1

【为了方便，设AB＞AD】

证法1：

作CE⊥AB于E，CF⊥AD，交AD延长线于F

则∠CEB=∠CFD=90º

∵∠B+∠ADC=180º

    ∠CDF+∠ADC=180º

∴∠B=∠CDF

又∵BC=CD

∴⊿CBE≌⊿CDF（AAS）

∴CE=CF

∴AC平分∠BAD【到角两边距离相等的点在角的平分线上】

证法2：

在AD的延长线上截取DE=AB，连接CE

∵∠B+∠ADC=180º

   ∠CDE+∠ADC=180º

∴∠B=∠CDE

又∵BC=CD，AB=DE

∴⊿ABC≌⊿EDC（SAS）

∴∠BAC=∠E

   AC=CE，＝＞∠DAC=∠E

∴∠BAC=∠DAC

∴AC 平分∠BAD

证法3：

以点C为圆心，BC为半径画弧，交AB于E，连接CE，DE

∵BC=CE

∴∠CEB=∠B

∵∠B+∠ADC=180º

   ∠CEB+∠AEC=180º

∴∠ADC=∠AEC

∵BC=CD

∴CE=CD

∴∠CED=∠CDE

∴∠AEC-∠CED=∠ADC-∠CDE

即∠AED=∠ADE

∴AE=AD

又∵AC=AC

∴⊿AEC≌⊿ADC（SSS）

∴∠EAC=∠DAC

∴AC平分∠BAD

证法4：

∵∠B+∠D=180º

∴A,B,C,D四点共圆

∵BC=CD

∴∠BAC=∠DAC

∴AC平分∠BAD

证法5：

在三角形ABC中

AC/sin∠B=BC/sin∠BAC

在三角形ADC中

AC/sin∠D=CD/sin∠DAC

∵∠B +∠C =180º

∴sin∠B=sin∠C

又∵BC=CD

∴sin∠BAC=sin∠DAC

∵∠BAC+∠DAC =∠BAD＜180º

∴∠BAC和∠DAC不能互补

∴∠BAC=∠DAC

∴AC平分∠BAD

Answer 2

证明：设AB＞AD，
方法（一）以C点为圆心，CB为半径画弧，交AB于点E，连接CE， 则∠B=∠CEB，
而∠CEB+∠CEA=180°，又∠B+∠D=180°所以∠CEA=∠D＞90°，
又AC=AC，CD=CE , 所以△ACE≌△ACD,∴∠CAE=∠CAD 即AC平分∠BAD。
方法（二）以C点为圆心，CB为半径画弧，交AD的延长线于点F，连接CF，
则∠F=∠CDF，同理可证 即AC平分∠BAD。
方法（三）过点C作CG⊥AB于G,CH⊥AD于H，则可证;
方法（四）作四边形ABCD的外接圆即可证明。