如图,在正方形ABCD中,EF分别为BC、AB上两点,且BE=BF,
过点B作AE的垂线交AC于点G,过点G作CF的垂线交BC于点M,延长线段AE、GH交于点M。求证:角BFC=角BEAAM=BG+GM...
过点B作AE的垂线交AC于点G,过点G作CF的垂线交BC于点M,延长线段AE、GH交于点M。求证:角BFC=角BEA AM=BG+GM
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分析:(1)根据正方形的四条边都相等,AB=BC,又BE=BF,所以△ABE和△CBF全等,再根据全等三角形对应角相等即可证出;
(2)连接DG,根据正方形的性质,AB=AD,∠DAC=∠BAC=45°,AG是公共边,所以△ABG和△ADG全等,根据全等三角形对应边相等,BG=DG,对应角相等∠2=∠3,因为BG⊥AE,所以∠BAE ∠2=90°,而∠BAE ∠4=90°,所以∠2=∠4,因此∠3=∠4,根据GM⊥CF和(1)中全等三角形的对应角相等可以得到∠1=∠BFC=∠2,在△ADG中,∠DGC=∠3 45°,所以DGM三点共线,因此△ADM是等腰三角形,AM=DM=DG GM,所以AM=BG GM.
解答:证明:(1)在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABC=90°,
在△ABE和△CBF中,
AB=BC
∠ABC=∠ABC
BE=BF
,
∴△ABE≌△CBF(SAS),
∴∠BFC=∠BEA;
(2)连接DG,在△ABG和△ADG中,
AB=AD
∠DAC=∠BAC=45°
AG=AG
,
∴△ABG≌△ADG(SAS),
∴BG=DG,∠2=∠3,
∵BG⊥AE,
∴∠BAE ∠2=90°,
∵∠BAD=∠BAE ∠4=90°,
∴∠2=∠3=∠4,
∵GM⊥CF,
∴∠BCF ∠1=90°,
又∠BCF ∠BFC=90°,
∴∠1=∠BFC=∠2,
∴∠1=∠3,
在△ADG中,∠DGC=∠3 45°,
∴∠DGC也是△CGH的外角,
∴D、G、M三点共线,
∵∠3=∠4(已证),
∴AM=DM,
∵DM=DG GM=BG GM,
∴AM=BG GM.
分析:(1)根据正方形的四条边都相等,AB=BC,又BE=BF,所以△ABE和△CBF全等,再根据全等三角形对应角相等即可证出;
(2)连接DG,根据正方形的性质,AB=AD,∠DAC=∠BAC=45°,AG是公共边,所以△ABG和△ADG全等,根据全等三角形对应边相等,BG=DG,对应角相等∠2=∠3,因为BG⊥AE,所以∠BAE ∠2=90°,而∠BAE ∠4=90°,所以∠2=∠4,因此∠3=∠4,根据GM⊥CF和(1)中全等三角形的对应角相等可以得到∠1=∠BFC=∠2,在△ADG中,∠DGC=∠3 45°,所以DGM三点共线,因此△ADM是等腰三角形,AM=DM=DG GM,所以AM=BG GM.
解答:证明:(1)在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABC=90°,
在△ABE和△CBF中,
AB=BC
∠ABC=∠ABC
BE=BF
,
∴△ABE≌△CBF(SAS),
∴∠BFC=∠BEA;
(2)连接DG,在△ABG和△ADG中,
AB=AD
∠DAC=∠BAC=45°
AG=AG
,
∴△ABG≌△ADG(SAS),
∴BG=DG,∠2=∠3,
∵BG⊥AE,
∴∠BAE ∠2=90°,
∵∠BAD=∠BAE ∠4=90°,
∴∠2=∠3=∠4,
∵GM⊥CF,
∴∠BCF ∠1=90°,
又∠BCF ∠BFC=90°,
∴∠1=∠BFC=∠2,
∴∠1=∠3,
在△ADG中,∠DGC=∠3 45°,
∴∠DGC也是△CGH的外角,
∴D、G、M三点共线,
∵∠3=∠4(已证),
∴AM=DM,
∵DM=DG GM=BG GM,
∴AM=BG GM.
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