Question

已知函数f(x)=(x+1)^2-alnx（1）讨论函数f(x)的单调性

（2）若a=4,当x∈[1/e,e]时，f(x)<m恒成立，求m的取值范围

Answer 1

定义域x>0
(1) f(x)=x^2+2x+1-alnx
f'(x)=2x+2-a/x=(2x^2+2x-a)/x
1. 4+8a<=0即a<=-1/2 f'(x)>=0恒成立，所以f(x)在定义域内是增函数
2. 4+8a>0即a>-1/2 f'(x)=0，即2x^2+2x-a=0 x1=(1-√(1+2a))/2，x2=(1+√(1+2a))/2
-1/2<a<=0
增区间 (0，x1) (x2，+无穷)
减区间 (x1,x2)
a>0
增区间 (x2，+无穷)
减区间 (0，x2)

（2）
a=4
f'(x)=2(x^2+x-2)/x
f'(x)=0 x=1或x=-2(舍)
x 0<x<1 1 x>1
y' - 0 +
y 减 极小值 增
f(1/e) =(1/e+1)^2+4
f(e)=(e+1)^2-4
f(e)>f(1/e)
f(x)在区间[1/e,e]上最大值=(e+1)^2-4
所以
m的取值范围 m>(e+1)^2-4