Question

已知:点A(a,b)是反比例函数y=k/x图像上的一点,a、b满足4a^2+b^2-4a-2b+2=0.

（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图一，过点A的直线y=x/2+b与x轴交于点B，请问：在双曲线y=k/x上是否存在点P（点P与点O在直线AB的同侧），使△PAB与△OAB的面积相等？若不存在请说明理由；如果存在，请求点P的坐标.
(3)如图二，直线y=-x+1与x轴、y轴分别交于点C、D,P（m,n）为反比例函数y=k/x在第一象限图像上一动点，PG⊥x轴于G，交线段CD于E，PH⊥y轴于H，交线段CD于F，当点P（m,n）运动时，∠EOF的度数是否改变？如果改变，试说明理由；如果不变，请求其度数.

Answer 1

（1）∵4a²+b²-4a-2b+2=0
∴.(2a-1)²+(b-1)²=0
∴a=1/2,b=1. ∴ A(1/2,1)
∴k=xy=1/2×1=1/2.
∴反比例函数为
y=1/(2x)
(2)∵点A(1/2,1)在直线y=x/2+b上,
∴1=1/2÷2+b, ∴b=3/4
∴y=x/2+3/4,且它与x轴的交点为B（-3/2,0)
设PB与AO相交于Q.由S⊿ABP=S⊿OAB得
,S⊿APQ=S⊿OBQ
∴连接OP,则O,P到直线AB的距离相等
∴OP∥AB
OP的方程为y=(1/2)·x
∵方程组﹛y=x/2
y=1/(2x)
∴﹛x=1 ﹛x=-1
y=1/2 y=-1/2
y=1/2 和
∴点P的坐标是（1,1/2）和（-1，-1/2）
(3)∵P(m,n)在双曲线y=/2x上
∴n=1/2m,∴m=1/2n
∵CD的方程是y=-x+1
∴C(1,0),D(0,1)
∴OC=1, OD=1
∴HC=1-m,FH=1-m
∴PF=n-(1-m)=m+n-1
∴FC=√2(1-m),EF=√2(m+n-1)
作OQ⊥CD于Q,则QO=CQ=√2/2
∴EQ=CF+FE-CQ=√2(1-m)+√2(m+n-1)-√2/2
=√2n-√2/2
OQ∶EQ＝√2/2∶(√2n-√2/2)＝1/(2n-1)
又∵OH∶FH＝m∶(1-m)＝1/2n∶(1-1/2n)＝1/(2n-1)
∴OQ∶EQ＝OH∶FH,
∵∠OQE=OHF=Rt∠
∴⊿OQE∽⊿OHF
∴∠EOQ＝∠FOH
∵∠QOC＝∠QOF＋∠FOH=45º
∴∠QOF＋∠EOQ＝45º
即∠EOF=45º