Question

已知函数f (x)=ax^3+bx^2+cx+a^2的单调递增区间是(1,2),且满足f(0)=1

②对任意m属于(0,2],关于x的不等式f(x)<1/2m^3 - m lnm -mt +3在x 属于[2,正无穷）上有解，求实数t的取值范围
函数f (x)=ax^3+bx^2+cx+a^2的单调递减区间是(1,2),

Answer 1

(2)记g(m)=1/2m^3-m lnm+3, 由于f(x)在[2, +∞）上递增，所以只要在区间(0,2]上g(m)-mt>f(2)=3即可。

注意到g(0+)=3=f(2), g'(m)=3/2 m^2-ln m-1>0, 所以g(m)的最小值就在左端（取不到), g(m)>3. 过点(0,3)作g(m)的下切线T, T的斜率k就是t 的下限。

g'(m)=3/2 m^2-lnm-1,  

g(m)上一点(m0, g(m0))的切线方程为(y-g(m0))=g'(m0)(x-m0), 让它过点(0,3)就是所要的切线T，即

-g(m0)=g'(m0)(3-m0)

由上述方程解得m0=1, （还有一根m0=0舍去，因对应点(0, 3)，对应切线为上切线(这里为y轴)）

k=g'(m0)=g'(1)=1/2. 所以实数t的取值范围是(1/2, +∞).

Answer 2

f (x)=ax^3+bx^2+cx+a^2，
∴f(0）=a^2=1,
f(x)的递增区间是(1,2),
∴a<0,a=-1.
f'(x)=-3x^2+2bx+c,
f'(1)=f'(2)=0,
∴2b/3=1+2,
-c/3=1*2,
解得b=9/2,c=-6.
f(x)=-x^3+(9/2)x^2-6x+1.
②对任意m∈(0,2],关于x的不等式f(x)<1/2m^3 - m lnm -mt +3在x ∈[2,+∞）上有解，
<==>对任意m∈(0,2],1/2m^3 - m lnm -mt +3>[f(x)]|min,x>=2,
x>=2时f(x)↓，x→+∞时f(x)→-∞，故上式恒成立，
实数t的取值范围为R.
题目似乎有误。

追问

打错一个字
是递减

Answer 3

没算出结果 可能那算错了给个辛苦分吧！！呵呵~ 不明白问啊~

赞同3| 评论

追问

第一问就算错了，再说你看清楚，我只问第二问

追答

f'(x)=3x^2+2bx+c
f'(x)=0的解为x1=1;x2=2
x1+x2=-2b/3=3→b=-9/2
x1*x2=c/3=2→c=6
f(x)=x^3-9/2x^2+6x+1

追问

看清楚，我只问第二问!!!!!!