Question

必修4数学题，高手来

在△ABS中，若sinB×sinC＝cos(A/2)×cos(A/2),则此三角形是什么三角形？

Answer 1

sinB*sinC=cos^2(A/2)
cos^2(A/2)=cos^2[π/2 - (B+C)/2]=sin^2[(B+C)/2]=[1-cos(B+C)]/2
sinB*sinC=cos^2(A/2)=[1-cos(B+C)]/2

sinBsinC=1/2 - (cosBcosC - sinBsinC)/2
cosBcosC + sinBsinC = 1
cos(B-C)=1
由于是在△ABC中,则B-C=0,B=C
所以应该为等腰三角形
而sinB*sinC=cos^2(A/2),则
sin^B = cos^2(A/2)

sinx和cosx的值相同时,交点为π/4+kπ
在△中,A,B,C均大于0小于π,交点只有π/4
所以B=A/2=π/4
A=π/2
则该三角形为等腰直角三角形

Answer 2

这种题就是要套公式，熟练运用公式
sinB×sinC＝cos(A/2)×cos(A/2)
2sinB*sinC-1=2cos(A/2)^2-1=cosA(运用这个公式cos2A=2cosA^2-1)
2sinB*sinC-1=cosA=cos[π-(B+C)]=-cos(B+C),(运用公式cos(π-A)=-cosA)
2sinB*sinC+cos(B+C)=1
继续化开得cosB*cosC+sinB*sinC=1
cos（B-C）=cos（2kπ）
B-C=2kπ又因为A B C位三角形的三个角。K=0
B=C
可判断△ABC位等腰三角形

Answer 3

将余弦的2次方降次再乘以2得：(1+cosC)sinA+(1+cosA)sinC=3sinB
展开，逆用两角和的正弦得：sinA+sinC=2sinB
由三角形正弦定理化成边得：a+c=2b
即a,b,c成等差数列。