Question

已知a、b∈R﹢,a+b=1,求证：(1) (1+1/a)(1+1/b)≥9 (2)(a+1/a)(b+1/b)≥25/4 (3)ab+1/ab≥17/4

Answer 1

1）
(1+1/a)(1+1/b）>=(1+1/根号ab)^2【柯西不等式】
1=a+b>=2根号ab
根号ab<=0.5 ab<=0.25
所以：）(1+1/a)(1+1/b）>=(1+1/根号ab）^2>=(1+2)^2=9
3）考虑函数：f（x）=x+1/x 0<x<=0.25【先证第三问】
在这段区间上单调递减的
最小值为17/4,且在x=0.25时取到
所以：ab+1/ab>=17/4
2）（a+1/a)(b+1/b)=ab+1/ab+a/b+b/a
>=ab+1/ab+2>=17/4+2=25/4