Question

n阶矩阵的n个特征值相加为什么等于主对角线上的元素之和

Answer 1

1.迹是所有对角元的和
2.迹是所有特征值的和

追问

具体怎么证明啊？用矩阵证，结论我是知道的

追答

对角线的元素和tr()有个很有用的公式，令n阶矩阵写成AB
tr(AB)=tr(BA)，其中A，B可以不必是方阵，只要能够相乘。证明此式只要分别写出AB和BA的对角线上的项对比即可
由上式，如果矩阵A和B相似，即A=PBP^-1，则tr(A)=tr(PBP^-1)=tr(BP^-1P)=tr(B)，也就是相似矩阵的trace是相等的
从而对任意矩阵可以做jordan分解，jordan矩阵的对角线元素和就是特征值和

追问

额，高手，那些还没学过额，可不可以用特征值的多项式做啊？

Answer 2

考虑特征多项式中 x^(n-1) 的系数就可以了.