Question

帮忙求求这个不定积分，谢谢

Answer 1

令x=atanu，则√(x²+a²)=asecu，dx=asec²udu
原式=∫ asecu*asuc²udu
=a²∫ sec³udu
下面计算
∫ sec³u du
=∫ secu d(tanu)
分部积分
=secutanu-∫ tanu*secu*tanudu
=secutanu-∫ secu*tan²udu
=secutanu-∫ secu*(sec²u-1)du
=secutanu-∫ sec³udu+∫ secudu
=secutanu-∫ sec³udu+ln|secu+tanu|
将-∫ sec³udu移到左边与左边合并后，除去系数，得：
∫ sec³udu=(1/2)secutanu+(1/2)ln|secu+tanu|+C1
因此原式=a²∫ sec³udu
=(a²/2)secutanu+(a²/2)ln|secu+tanu|+C2
=(a²/2)(√(x²+a²)/a)(x/a)+(a²/2)ln|√(x²+a²)/a+x/a|+C2
=(1/2)x√(x²+a²)+(a²/2)ln|√(x²+a²)+x|+C 其中C=C2-lna

Answer 2

分部积分
I = x √(x²+a²) ﹣∫ x * x /√(x²+a²) dx
= x √(x²+a²) ﹣∫ (x²+a²﹣a²) /√(x²+a²) dx
= x √(x²+a²) ﹣I + a² ∫ dx /√(x²+a²)
= x √(x²+a²) ﹣I + a² ln| x+√(x²+a²) |
∴ I = (1/2) x √(x²+a²) + (a²/2) ln| x+√(x²+a²) | + C