Question

a,b,c,d都是正实数S=a/(a+b+d)+b/(b+c+d)+c/(c+b+d)+d/(d+a+c) 求S的取值范围时为什么

取最大值时不能放缩成S<(a+b+d)/(a+b+d)+(b+c+d)/(b+c+d)+(c+b+d)/(c+b+d)+(d+a+c)/(d+a+c)=4而放缩成a/(a+d)+b/(b+c)+c/(c+b)+d/(a+d)=(a+d)/(a+d)+(b+c)/(b+c)=2呢？

Answer 1

求S的取值范围，要求得S的上确界（最小的上界）和下确界（最大的下界），4是S的上界，但是不是最小的上界，2是S的最小上界，因为令b和d无限接近0，则S无限接近2，同时又有S<2，所以2是S的上确界。

Answer 2

S=a/(a+b+d)+b/(b+c+d)+c/(c+b+a)+d/(d+a+c)
<(a+c)/(a+b+c+d)+(a+b)/(a+b+c+d)+(c+d)/(c+b+a+d)+(d+b)/(d+a+c+b) =2
s=a/(a+b+c)+b/(a+b+d)+c/(c+d+a)+d/(c+d+b)(下面放大分母)
>a/(a+b+c+d)+b/(a+b+c+d)+c/(c+d+a+b)+d/(c+d+b+a)
=(a+b+c+d)/(a+b+c+d)=1,
1<s<2

这个题用到a,b正实数a>b（b/a<1）下面有一个正数t>0
b/a<(b+t)/(a+t)这个很好证，很有用