Question

设函数f(x)连续，且f'(x)>0,则存在a>0。 使得f(x)在（0,a）内单调递增。这为什么是错的

上面是且f'(o)>0,上面打错了

Answer 1

如果f'(x)在0的一个邻域内连续，于是在此邻域内f'(x)>0，故f(x)单调递增。因此反例只能从f'(x)在0不连续找。
考虑f(x)=x/2+x^2sin1/x，当x不为0时，f(0)=0。
用定义有f'(0)=1/2>0，f'(x)=1/2+2xsin1/x--cos1/x。当xk取1/【2kpi】时，f'(xk)=--1/2，
当xk取1/【(2k+1)pi】时，f'(xk)=3/2。也即是在0的任意一个右邻域内，总有导数值大于0，也总有导数值小于0，因此f(x)不单调。

Answer 2

举一个反例就可以了
y=-/x/
则x<=0时函数为y=x，导数为y=1，则f'(o)=1>0
但是y=-/X/在x>0的区间单调递减，
这样不存在这样的a>0
使得函数单调递增

Answer 3

举一个反例就可以了
y=-/x/
则x<=0时函数为y=x，导数为y=1，则f'(o)=1>0
但是y=-/X/在x>0的区间单调递减，
这样不存在这样的a>0 使得函数单调递增

追问

你说的这函数在x=0不可导

Answer 4

请参考f(x)=sinx的图像，该图像在x=0时为增函数，同时连续，满足题意。但该函数并不是单调递增，所以无法通过a判断

追问

题目说的是存在a，应该是说只要存在一个a使题目满足条件成立就可以了，而不是对于每一个a的值都成立

追答

不，正好相反，应该是只要存在一个a不符合题意那就是错的

追问

你这是对每一个a>0,都使得f(x)在（0，a)内单调递增，而题目说的是存在a>0,建议好好读题

追答

那就是题目有问题了

追问

此题为2004年考研真题

追答

那就是你太钻牛角尖了

Answer 5

没有给出定义域啊

追问

貌似和定义域无关