Question

已知数列（an）满足a1=1 an+1=2an+1 （1）求证（an+1）是等比数列 （2）求数列（an）的通项和前n项和Sn

Answer 1

解：
（1）
∵a(n+1)=2an+1
∴a(n+1)+1=2an+2，即：
a(n+1)+1=2(an+1)
显然这是公比为2，首项a1+1=2的等比数列，通项公式为：
an+1=2^n
(2)
an=2^n-1
该数列可以看出是等比数列和常数的组合，因此：
Sn=2(2^n-1)-n

Answer 2

a(n+1)=2an+1
a(n+1)+1=2an+2
[a(n+1)+1]/(an+1)=2，为定值。且an+1≠0
所以an+1是等比数列（公比为2，首项a1+1=2的等比数列）
2）
a1+1=1+1=2
an+1=2×2^(n-1)=2^n
an=2^n-1
Sn=a1+a2+……+an
=2^1-1+2^2-1+……+2^n-1
=2^1+2^2+……+2^n-n (分开算)
=2（1-2^n）/(1-2)-n
=2^(n+1)-2-n