定积分问题求详解

f(x)=1/(1+x^2)+X^3∫[0,1]f(x)dx,则∫[0,1]f(x)dx=?我想用两边求[0,1]上定积分来做,但不知那个x^3应该怎么办?麻烦详细一点啦... f(x)=1/(1+x^2)+X^3∫[0,1]f(x)dx,则∫[0,1]f(x)dx=?

我想用两边求[0,1]上定积分来做,但不知那个x^3应该怎么办?
麻烦详细一点啦,谢谢~
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ifand163
2012-04-17 · TA获得超过340个赞
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由于∫[0,1]f(x)dx为常数,所以可以令t=∫[0,1]f(x)dx,
则: f(x) = 1/(1+x^2) + t*x^3
再由∫[0,1]f(x)dx = t, 将上述f(x)代入 可得:
∫[0,1][1/(1+x^2) + t*x^3] dx = t
解方程,有:∫[0,1][1/(1+x^2)] dx + ∫[0,1][t*x^3] dx = t
∫[0,1][1/(1+x^2)] dx + t/4 = t
π/4 + t/4 = t
解得:t = π/3
故 ∫[0,1]f(x)dx = π/3

其中 ∫[0,1][1/(1+x^2)] dx 的解法可以用三角函数法,即令x = tgU, 则可以转化为:
∫[0,π/4][1/(1+(tgU)^2)] d(tgU) = ∫[0,π/4][1/(secU)^2] *(secU)^2 dU
= ∫[0,π/4]dU
= π/4
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