Question

考试中，求准确解答。设函数f（x）＝xlnx＋1 ①，求函数的单调区间 ②，若f（x）≤x∧2＋ax＋1，求实...

考试中，求准确解答。设函数f（x）＝xlnx＋1
①，求函数的单调区间
②，若f（x）≤x∧2＋ax＋1，求实数a的取值范围

Answer 1

设函数f（x）＝xlnx＋1
①，求函数的单调区间
②，若f（x）≤x∧2＋ax＋1，求实数a的取值范围
(1)解析：∵函数f(x)=xlnx＋1，其定义域x>0
令f’(x)=lnx+1=0==>x=1/e
f’’(x)=1/x==>f”(1/e)=e>0
∴f(x)在x=1/e处取极小值
∴x∈(0,1/e)时，f(x)单调减; x∈[1/e,+∞)时，f(x)单调增;
(2)解析：∵f(x)<=x^2+ax+1
x^2+ax-xlnx>=0==>a>=(xlnx-x^2)/x=lnx-x
令h(x)=lnx-x==>h’(x)=1/x-1=0==>x=1
0<x<1,h’(x)>0, x>1,h’(x)<0
∴h(x)在x=1时取极大值-1
∴a>=-1
∴实数a的取值范围为a>=-1

Answer 2

先对f（x）求导，得1+lnx
讨论1+lnx与0 的关系，大于0是单增，小于0时单减
2，由1可得f的最大值M，然后代入M≤x^2+ax+1，令判别式小于零解出即可

Answer 3

先对f（x）求导，得1+lnx