Question

已知函数f(x)=x1nx设函数g(x)=f(x)-k(x-1)其中k属于R,求函数g(x)在区间[1,e]上的

已知函数f（x）＝x1nx设函数g（x）＝f（x）－k（x－1）其中k属于R，求函数g（x）在区间［1，e］上的最大值

Answer 1

解：
g'(x)=f'(x)-[k(x-1)]'=lnx +1-k
x≥1，底数e>1，随x递增，lnx单调递增。
ln1≤lnx≤lne 0≤lnx≤1
(1)
当1-k≥0时，即k≤1时，g'(x)≥0，函数g(x)单调递增，当x=e时取得最大值
g(x)max=elne-k(e-1)=e-ke+k
(2)
当k>1时，g'(x)从负到正，g(x)先递减，再递增，只要考察两边界。
x=1时，g(x)=0
x=e时，g(x)=elne-k(e-1)=e-(e-1)k
令e-(e-1)k=0，解得k=e/(e-1)
k≥e/(e-1)时，g(x)≤0 此时g(x)有最大值g(x)max=0
1<k<e/(e-1)时，g(x)=e-(e-1)k>0，此时g(x)有最大值g(x)max=e-ke+k
综上，得
k<e/(e-1)时，g(x)有最大值g(x)max=e-ke+k；
k≥e/(e-1)时，g(x)有最大值g(x)max=0

Answer 2

一楼做的很好 就是这样