Question

大家帮忙，将下列函数在指定点展开成幂级数，并确定它们的收敛范围 1/(x^2),x0=-1 ；x/根号下1+x^2,x0=0

Answer 1

1. 令 u = x+1, 1/x² = 1/[ (x+1) - 1]² = 1/(u-1)²
g(u) = 1/(u-1)² = [1/(1﹣u)] ' , 1/(1-u) = ∑ n:0->∞ u^n
g(u) = ∑ n:1->∞ n u^(n-1), u∈(-1,1)
将 u = x+1 代入：
1/x² = ∑ n:1->∞ n (x+1)^(n-1), x∈(-2,0)
2. x / √(1+x²) = [ √(1+x²) ] '
将 h(x) = √(1+x²) = (1+x²) ^(1/2) 展开， 利用 (1+x)^α 的展开式
再求导即得。