Question

高等数学多元微积分问题

1.交换二次积分次序
积分上限有个函数是y=(2x-x^2)^1/2这个函数张什么样在坐标轴里.我要知道张什么样才能确定范围.
2.I=重积分(D---->xy范围)(x^2+4y^2+9)dxdy,其中D={(x,y)|x^2+y^2<=4}这个怎么做
小弟刚学自知愚笨请明白人指点指点感激不尽...

Answer 1

1、y=(2x-x²)^1/2，因此y²=2x-x²，整理后为：(x-1)²+y²=1，这是以(1,0)为圆心，1为半径的圆；不过注意：由于y=(2x-x²)^1/2，说明y为正，因此本题是上半圆。

2、极坐标：x²+y²变成r²，x变成rcosθ，y变成rsinθ，dxdy变成rdrdθ
原式=∫∫(x²+4y²+9)dxdy
=∫∫(x²+4y²)dxdy+9∫∫1dxdy
当被积函数为1时，积分结果为区域面积，因此后一个积分结果为：9*π*2²=36π
前一个积分用极坐标
=∫∫(r²+3r²sin²θ)rdrdθ+9*π*2²
=∫∫(r²+3r²sin²θ)rdrdθ+36π
=∫ [0--->2π]dθ∫[0--->2] r³(1+3sin²θ)dr+36π
=∫ [0--->2π](1+3sin²θ)dθ∫[0--->2] r³dr+36π
=(1/4)∫ [0--->2π](1+3sin²θ)r⁴ |[0--->2]dθ+36π
=4∫ [0--->2π](1+3sin²θ)dθ+36π
=4∫ [0--->2π](1+(3/2)(1-cos2θ))dθ+36π
=2∫ [0--->2π](5-3cos2θ))dθ+36π
=2(5θ-(3/2)sin2θ) |[0--->2π]+36π
=20π+36π
=56π

如有不懂，请追问。

Answer 2

第一题 两边平方 不就是一个圆吗？
第二题 用极坐标方法 。。。。。