Question

请问一个微积分有关的题目

f(x)=x^2-2x+3.f(x)在x=2处的切线用来估计f（x)的值。以下哪个是最大的值令使用此方法的误差小于0.5.
我不懂的是怎么用f(x)在x=2处的切线来估算f(x)的值？？还有就是误差该如何计算呢？谢谢

Answer 1

楼主，这个问题还不算微积分的范畴呵呵，不过是高等数学里面的一个分支了，大学高等数学应该会有涉及的，就是级数的展开逼近求值的一种方法。
首先楼主这个函数没必要使用这个方法了呵呵，泰勒级数展开的意义就是把一个比较复杂的函数(非线性函数)通过某一点的确定值或者确定的情况，来近似体现其他位置的信息，
1.第一个例子，其实不能算泰勒级数展开的，不过这里就类比下，正好回答了你题目中的疑惑，为什么用切线去近似一个函数的值：
知道了函数y=x3(非线性的)，显然x=1，y=1，我们要去求x=3，y=?。。。显然这里很快能算出来y=27。。。注意，往往很多实际需要泰勒级数展开的时候就不是这么个轻松愉快；
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)/2!(x-x0)^2...具体的公式楼主自己去查看数学资料吧，后面还有个余项
任意x的函数表达，第一项f(x0)不用解释，从这点出发的，x-x0是另外一点到x0已知点的横轴差，导数是切线也就是tana，第二项看出来了吧，加上了一个x到x0的纵向的值，比x0更接近x了，但是显然还差得远，所以就不断的逼近的方法。。慢慢就逼近了f(x)这个点的值。。这也就是泰勒级数的意义；(这里楼主可以画一个二次函数，选取两个点。看看之间的关系较为容易理解)；
2.回到正题，刚才的函数展开f(x)=f(x0)+3x2(x-x0)+6x/2(x-x0)^2+6/6(x-x0)^3..系数项带x=x0=1注意
带入x0=1,x=3求的f(3)=1+3(3-1)+3(3-1)^2+(3-1)^3=1+6+12+8=27=3^3验证成立，。。也就说明了泰勒级数(实际上这里是大材小用了)。。的意义
3.若是大才呢，比如求f(x)=根号65。。这里就必须用泰勒级数了。(用计算器的除外)。。
根号65=根号(1+64）.构造函数根号(1+x)泰勒展开=1+1/2!x-1/3!x^2+1/4!x3-....楼主不妨带入x=64试一试。看看和计算器比比效果吧。。当然这个要偏差点，不然怎么叫求近似呢。。后面还有很多项(无穷多项)，我们仅仅考虑前面几个有意义的项目而已。。。
希望对你有帮助，Forever 蓉儿~