Question

设椭圆中心在原点O，焦点在y轴上，离心率e=三分之根号三，两准线间的距离为6求椭圆的方程 求过程

Answer 1

设椭圆中心在原点O，焦点在y轴上，离心率e=√ 3/3,两准线间距离为6，若直线l:x-y+n=0交于椭圆A，B两点，且OA垂直于OB，求实数n值

中心在原点，焦点在y轴上，不妨设椭圆方程为：y^2/a^2+x^2/b^2=1（a＞b＞0）
那么：c^2=a^2-b^2
已知e=c/a=(√3/3)
所以，e^2=c^2/a^2=(a^2-b^2)a^2=1/3
===> a^2=3(a^2-b^2)
===> 2a^2=3b^2………………………………………………（1）
又，两准线间的距离为2*(a^2/c)=6
===> a^2/c=3
===> a^2=3c
===> a^4=9c^2=9(a^2-b^2)
===> a^4-9a^2+9b^2=0………………………………………（2）
联立(1)(2)得到：a^4-9a^2+6a^2=0
===> a^4-3a^2=0
===> a^2=3
所以，b^2=2
则椭圆方程为：x^2/2+y^2/3=1
设直线x-y+n=0与椭圆相交于点A(x1,y1)，B(x2,y2)
那么：
x^2/2+y^2/3=1，x-y+n=0
===> 3x^2+2(x+n)^2-6=0
===> 3x^2+2x^2+4nx+2n^2-6=0
===> 5x^2+4nx+(2n^2-6)=0
===> x1*x2=(2n^2-6)/5，x1+x2=-4n/5
而，y1*y2=(x1+n)*(x2+n)=x1x2+n(x1+x2)+n^2
=(2n^2-6)/5-n(4n/5)+n^2
=(2n^2-6-4n^2+5n^2)/5
=(3n^2-6)/5
因为OA⊥OB，则Koa*Kob=-1
即，(y1/x1)*(y2/x2)=-1
===> (y1y2)/(x1x2)=-1
===> y1y2=-x1x2
===> (3n^2-6)/5=-(2n^2-6)/5
===> 3n^2-6=-2n^2+6
===> 5n^2=12
===> n=±(2√15)/5

Answer 2

设：椭圆是y²/a²＋x²/b²=1，则：
e=c/a=√3/3
c²/a²=1/3
a²=3c²
两准线间的距离d=2(a²/c)=6
a²=3c
3c²=3c
c=1
所以，a²=3，b²=a²－c²=2
则所求椭圆是：y²/3＋x²/2=1

Answer 3

∵e=1/sqr(3) ∴可设c=t a=sqr(3)t b=sqr(2)t
准线为x=±a^2/c=±3t 两准线间的距离为6则t=1
椭圆方程为x^2/3+y^2/2=1