Question

已知数列{an}中，a1=5/6，以an-1，an为系数的二次方程：a的n减1x平方-anx+1=0都有实根q ，w。且满足3q-qw+3

且满足3q-qw+3w=1，（1）求证{an-1/2}是等比数列（2）求{an}的通项

Answer 1

方程为一元二次方程，二次项系数≠0，a(n-1)≠0，n为任意正整数，即数列各项均≠0。
由韦达定理得
q+w=an/a(n-1)
qw=1/an
3q-qw+3w=1 3(q+w)-qw=1
3an/a(n-1)-1/a(n-1)=1
整理，得
3an=a(n-1)+1
3an-3/2=a(n-1)-1/2
a1=5/6≠1/2，数列各项均≠1/2
(an - 1/2)/[a(n-1)-1/2]=1/3，为定值。
a1-1/2=5/6-1/2=1/3
数列{an -1/2}是以1/3为首项，1/3为公比的等比数列。
an -1/2=1/3ⁿ
an=1/3ⁿ +1/2
n=1时，a1=1/3+1/2=5/6，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=1/3ⁿ +1/2。

另外：
方程有实数根，判别式≥0
(-an)²-4a(n-1)≥0
an²-4a(n-1)≥0
(1/3ⁿ+1/2)²-4×[1/3^(n-1)+1/2]
=(1/3)^(2n)+1/3ⁿ+1/4-4/3^(n-1)-2
=(1/3)^(2n)-11/3^n-7/8
=[(1/3)^n-11/2]²-121/2-7/8
0<(1/3)^n≤1/3，(1/3-11/2)²≤[(1/3)^n-11/2]²<(11/2)²
(11/2)²-121/2-7/8<0，判别式<0，方程无实数根。
如果题目已知条件中有方程有实数根，则题目有问题。其实韦达定理对于方程有无实数根都成立的，即方程有共轭复根时，韦达定理同样成立。因此若要解这个题，这个已知条件应该是没有的。