Question

如图，直角梯形OABC中，AB∥OC，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点C在x轴正半轴上，点B坐标为（2，2 3），

如图，直角梯形OABC中，AB∥OC，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点C在x轴正半轴上，点B坐标为（2，2 3），∠BCO=60°，OH⊥BC于点H．动点P从点H出发，沿线段HO向点O运动，动点Q

如图，直角梯形OABC中，AB∥OC，O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点C在x轴正半轴上，点B坐标为（2，2根号3），∠BCO=60°，OH⊥BC于点H．动点P从点H出发，沿线段HO向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段OA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．设点P运动的时间为t秒．
（1）求OH的长；
（2）若△OPQ的面积为S（平方单位）．求S与t之间的函数关系式．并求t为何值时，△OPQ的面积最大，最大值是多少；
（3）设PQ与OB交于点M．①当△OPM为等腰三角形时，求（2）中S的值． ②探究线段OM长度的最大值是多少，写出分析过程

特别是第三问中的（2） 要详解

Answer 1

解：（1）
在Rt△HCO中，由于∠OCH=60°，∠OCH的对边为2√3，
所以CB= （2√3）/sin60°=4，OC=2+2=4
所以：OH=∠OCH的对边=2√3
(2)
根据题意得：OQ=t,HP=t。
所以OP=OH-PH=(2√3)-t
所以：三角形OPQ的面积S=(1/2)*OQ*sin60°*OP
即：S=t(1/2)[(√3)/2][(2√3)-t]
S=[(-√3)/4]t^2+(3/2)t
由于-√3<0，所以S=[(-√3)/4]t^2+(3/2)t有最大值，
当t=-(3/2)/{2[(-√3)/4]}=√3时，S值最大为:(√3)/4
即：S与 t之间的函数关系式为S=[(-√3)/4]t^2+(3/2)t ，t为 t为值时√3时，三角形OPQ的面积最大，最大值是(3√3)/4
(3)
第一种情况：
过B点作BD垂直OC交直线OH于一点，过这点作OC的平行线，交OB于M点，交OA于Q点，交CB于N点。那么BD、OH的交点就是P点。△MOP是等腰三角形
（证明思路是：QP平行OD,OH平分角BOC,可得△MOP是等腰三角形。另外：PH=PD=OQ=t）
由P点是等边三角形OCB的重心得：HP=(1/3)OH=(2√3)*(1/3)=(2√3)/3
即：t=(2√3)/3
此时三角形OPQ的面积S=[(-√3)/4]t^2+(3/2)t
=｛[(-√3)/4]t^2+(3/2)｝*[(2√3)/3]=(2/3)√3
第二种情况：
作∠OBD的平分线交OH于P点，链接DP并延长交于BO于M点，交AO于Q点，则OM=OP
三角形MOP也是等腰三角形。P点是三角形ODB的内心。
可证明△BHP和△DOQ是全等的等腰直角三角形，从而有HP=OQ=t=2
可证明△OPD和△OMQ全等，从而有OM=OP
将t=2带入S=[(-√3)/4]t^2+(3/2)t中得：S=3-√3

我想就这两种情况了，使MP=PO是不存在的，因为此时OA与MP平行了。

至于OM的值：当点Q和点P分别在线段OA和线段OH的中点时，OM的值最大，最大值是3/2

Answer 2

在Rt△HCO中，由于∠OCH=60°，∠OCH的对边为2√3，
所以CB= （2√3）/sin60°=4，OC=2+2=4
所以：OH=∠OCH的对边=2√3

Answer 3

没图