1＋2＋2²＋。。。。＋2的n－1次方＝2的n次方－1 用数学归纳法证明
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证：
n=1时，2^1 -1=2-1=1，等式成立。
假设当n=k(k∈N，k≥1)时，等式成立，即1+2+2²+...+2^(k-1)= 2^k -1，则当n=k+1时，
1+2+2²+...+2^(k-1)+2^[(k+1)-1]
=1+2+2²+...+2^(k-1)+2^k
=2^k -1+2^k
=2×2^k -1
=2^(k+1)-1
等式同样成立。
综上，得1＋2＋2²＋。。。。＋2的n－1次方＝2的n次方－1，等式成立。
n=1时，2^1 -1=2-1=1，等式成立。
假设当n=k(k∈N，k≥1)时，等式成立，即1+2+2²+...+2^(k-1)= 2^k -1，则当n=k+1时，
1+2+2²+...+2^(k-1)+2^[(k+1)-1]
=1+2+2²+...+2^(k-1)+2^k
=2^k -1+2^k
=2×2^k -1
=2^(k+1)-1
等式同样成立。
综上，得1＋2＋2²＋。。。。＋2的n－1次方＝2的n次方－1，等式成立。
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