Question

数列问题

已知Sn=n²×an，求an的通项公式

Answer 1

题目未给出a1的值，需要分类讨论。
解：
(1)
a1=0时，S1=0
S2=a1+a2=0+a2=a2=4a2 a2=0
假设当n=k(k∈N且k≥2)时，ak=0，则当n=k+1时，
S(k+1)=0+a(k+1)=(k+1)²a(k+1) a(k+1)=0
即a1=0时，数列各项均为0，an=0。
(2)
a1≠0时，
n=1时，a1=S1=1²×a1，等式恒成立。
n≥2时，
Sn=n²×an
Sn-1=(n-1)²×a(n-1)
Sn-Sn-1=an=n²×an-(n-1)²×a(n-1)
(n²-1)×an=(n-1)²×a(n-1)
(n+1)(n-1)an=(n-1)²×a(n-1)
(n+1)an=(n-1)a(n-1)
an/a(n-1)=(n-1)/(n+1)
a(n-1)/a(n-2)=(n-2)/n
…………
a2/a1=1/3
连乘
an/a1=(1/3)(2/4)...[(n-1)/(n+1)]=[1×2×...×(n-1)]/[3×4×...×(n+1)]=2/[n(n+1)]
an=2a1/[n(n+1)]

以前做过一个类似的题，是给出a1的具体值的，给出a1=1/2，最后解出通项公式an=1/n - 1/(n+1)。