Question

二重积分数学题

(1)D为圆环1<=x^2+y^2<=4,求∫∫（2x^3+3sin(x/y)+7）d○
(2)设积分区域D是以原点为中心，半径为r的圆域，则求极限
lim(r→0) 1/(派r^2)∫∫e^(x^2+y^2)cos(xy)dxdy

Answer 1

（1）0
（2）1
解法如下
（1）注意到积分区域关于y轴都是对称的，而被积函数关于x是奇函数，所以积分为0
（2)设被积函数为f(x,y),则f(0,0) = 1.，且在(0,0)点处连续
对于半径为r的圆盘D(r),由积分中值定理，二重积分=1/(pi * r^2) * (D(r)的面积) * f (x1, y1) = f (x1, y1)，其中(x1,y1)是圆盘D(r)中的一点。
注意到r趋向于0的时候，(x1,y1)趋向于(0, 0),由函数f的连续性知极限就是f(0,0)，即为1

Answer 2

（1）注意到积分区域关于y轴都是对称的，而被积函数关于x是奇函数，所以积分为0
（2)设被积函数为f(x,y),则f(0,0) = 1.，且在(0,0)点处连续
对于半径为r的圆盘D(r),由积分中值定理，二重积分=1/(pi * r^2) * (D(r)的面积) * f (x1, y1) = f (x1, y1)，其中(x1,y1)是圆盘D(r)中的一点。
注意到r趋向于0的时候，(x1,y1)趋向于(0, 0),由函数f的连续性知极限就是f(0,0)，即为1