Question

如图在四棱锥P-ABCD中底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCDPA=AD=4AB=2以BD的中点O为球心BD为直径的球面交PD于点M

（1）平面ABM垂直于平面PCD
（2）求直线PC与平面ABM所成的角
（3）求点O到平面ABM的距离

Answer 1

1、根据勾股定理，BD=2√5，
∵PA⊥平面ABCD，AB、AD∈平面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥AD，
∴PB=2√5，
∵M在球面上，
∴OM=R=BD/2=√5=PB/2，
∵O是BD中点，
∴OM是△PBD的中位线，
∴M是PD的中点，
∵PA=AD，
∴△PAD是等腰△，
∵M是PD中点，
∴AM⊥PD，
∵PB=BD=2√5，
∴△PBD也是等腰△，
∴BM⊥PD，
∵AM∩BM=M，
∴PD⊥平面AMB，
∵PD∈平面PDC，
∴平面ABM⊥平面PFC。
2、取PC中N，连结MN，BN，
MN是△PDC的中位线，
∴MN//DC，
∵DC//AB，
∴MN//AB，，
∴A、B、N、M四点在同一平面上，
由前所述，PD⊥平面AMD，
即PM⊥平面AMB，
∴〈PNM就是PC与平面AMB所成角，
PC=√（PA^2+AC^2)=√（16+20）=6，
PN=PC/2=3，
PM=PD/2=2√2，
sin<PNM=PM/PN=2√2/3，
∴<PNM=arcsin(2√2/3),
直线PC与平面ABM所成的角为arcsin(2√2/3),
3、∵OA=OB=OM=√5，
∴OA、OB、OM在平面ABM上的射影相等，
∴O在平面ABM上的射影就是△ABM的外心，
∵AB⊥AD，AB⊥PA，
PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，
AM∈平面PAD，
∴AB⊥AM，
∴△ABM是RT△，
∴△ABM外心在斜边BM的中点Q，
则OQ就是O至平面ABM的距离，
BM=√（BD^2-MD^2)=√（20-8）=2√3，
BQ=BM/2=√3，
OQ=√（OB^2-BQ^2)=√（5-3）=√2，
∴点O到平面ABM的距离为√2。

Answer 2

如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面 ABCD，PA=AD=2，BD=2 √2 ．

Answer 3