Question

已知函数f（x）=e^（-kx）[x^2+x-（1/k）]（k<0）过程尽量详细点…多谢啦…

已知函数f（x）=e^（-kx）（x^2+x-1/k）（k<0）

1a求f（x）单调区间
2.是否存在实数k,使的函数f（x）的极大值等于3e^（-2）,若存在，求出k值，若不存在，说明理由
（没有a,刚刚多打一a）

Answer 1

1.f'(x)=-ke^(-kx)[x^2-(1/k)]-e^(-kx)[2x+1]
=-e^(-kx)[kx^2+(k+2)x]
=0
x=0或x=-1-2/k
讨论：0与-1-2/k的大小。
当k<=-2时，-1-1/k<=0则f(x)的单增区间为[-1-1/k,0];单减区间为{x<-1-1/k,x>0}
当0>k>-2时，-1-1/k>0则f(x)单增区间为（0，-1-1/k）;单减区间为{x<0,x>-1-1/k}
2.假设存在实数k,使得函数f(x)的极大值等于3e^(-2).则由1得到当k<=-2时，当x=0时是它的最大值所以f(0)=-1/k=3e^(-2)解得k=-e^2/3符合题意，当-2<k<0时，f(x)的最大值为f(-1-2/k)=3e^(-2)解得不存在k.
综上存在k=-e^2/3,使得函数的最大值为3e^(-2).

Answer 2

1.f'(x)=-ke^(-kx)[x^2-(1/k)]-e^(-kx)[2x+1]
=-e^(-kx)[kx^2+(k+2)x]
=0
x=0或x=-1-2/k
讨论：0与-1-2/k的大小。
当k<=-2时，-1-1/k<=0则f(x)的单增区间为[-1-1/k,0];单减区间为{x<-1-1/k,x>0}
当0>k>-2时，-1-1/k>0则f(x)单增区间为（0，-1-1/k）;单减区间为{x<0,x>-1-1/k}
2.假设存在实数k,使得函数f(x)的极大值等于3e^(-2).则由1得到当k<=-2时，当x=0时是它的最大值所以f(0)=-1/k=3e^(-2)解得k=-e^2/3符合题意，当-2<k<0时，f(x)的最大值为f(-1-2/k)=3e^(-2)解得不存在k.
综上存在k=-e^2/3,使得函数的最大值为3e^(-2).