Question

已知：PA=根号2，PB=4，以AB为一边作正方形ABCD,使P,D两点落在直线AB的两侧。角APB为何值PD最大

Answer 1

当∠APB＝135°时，PD最大。
证明如下：
过A作AQ⊥AP，使Q、B在AP的两侧，且QA＝PA。
∵ABCD是正方形，∴AD＝AB、∠DAB＝90°。
∴∠PAD＝∠PAB＋∠DAB＝90°＋∠PAB＝∠PAQ＋∠PAB＝∠QAB。
由QA＝PA、AB＝AD、∠QAB＝∠PAD，得：△QAB≌△PAD，∴QB＝PD。

∵QA＝PA、QA⊥PA，∴∠APQ＝45°、PQ＝√2PA＝2。
∴PQ＋PB＝2＋4＝6。
考查点P、Q、B，显然有：QB≦PQ＋PB＝6。
很明显，当B、P、Q共线时，QB有最大值为6，即此时PD有最大值。
于是：当PD取得最大值时，∠PAB＝180°－∠APQ＝180°－45°＝135°。

Answer 2

　　解：（1）①如图，作AE⊥PB于点E，
∵△APE中，∠APE=45°，PA=
2
，
∴AE=PE=
2
×
22
=1，
∵PB=4，∴BE=PB-PE=3，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∴AB=
AE2+BE2
=
10
．
如图，因为四边形ABCD为正方形，可将
△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，
可得△PAD≌△P'AB，PD=P'B，PA=P'A．
∴∠PAP'=90°，∠APP'=45°，∠P'PB=90°
∴PP′=
2
PA=2，
∴PD=P′B=
PP′2+PB2
=
22+42
=2
5
；
(2)如图所示，

将△PAD绕点A顺时针旋转90°
得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，
∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′=
2
PA=2，PB=4，
且P、D两点落在直线AB的两侧，
∴当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值（如图）
此时P'B=PP'+PB=6，即P'B的最大值为6．
此时∠APB=180°-∠APP'=135度．

楼主不明白的看参考资料。

Answer 3

解：（1）①如图，作AE⊥PB于点E，
∵△APE中，∠APE=45°，PA=2，
∴AE=PE=2×22=1，
∵PB=4，∴BE=PB-PE=3，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∴AB=AE2+BE2=10．
②解法一：如图，因为四边形ABCD为正方形，可将
△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，
可得△PAD≌△P'AB，PD=P'B，PA=P'A．
∴∠PAP'=90°，∠APP'=45°，∠P'PB=90°
∴PP′=2PA=2，
∴PD=P′B=PP′2+PB2=22+42=2
5；
解法二：如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，与DA的
延长线交PB于G．
在Rt△AEG中，
可得AG==AEcos∠ABE=103，EG=13，PG=PE-EG=23．
在Rt△PFG中，
可得PF=PG•cos∠FPG=PG•cos∠ABE=105，FG=1015．
在Rt△PDF中，可得，
PD=PF2+(AD+AG+FG)2=(
105)2+(
10+
1015+
103)2=2
5．

（2）如图所示，

将△PAD绕点A顺时针旋转90°
得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，
∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′=2PA=2，PB=4，
且P、D两点落在直线AB的两侧，
∴当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值（如图）
此时P'B=PP'+PB=6，即P'B的最大值为6．
此时∠APB=180°-∠APP'=135度．