Question

已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且Sn=1-an

已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且Sn=1-an(n∈N*)
⑴试求｛an｝的通项公式
⑵若数列｛bn｝满足：bn=n/an(n∈N*)，试求｛bn｝的前n项和Tn.

Answer 1

(1)当n=1,a1=S1=1-a1,所以a1=1/2
当n>=2时，
Sn=1-an
S{n-1}=1-a{n-1}
两式相减得，an=a{n-1}-an
即 an/a{n-1}=1/2
又S2=a1+a2=1-a2，所以a2=1/4
an=(1/4)(1/2)^(n-2)=(1/2)^n
当n=1时，1/2=a1
所以an=(1/2)^n
(2)bn=n/an=nx2^n,b1=2
Tn=b1+b2+b3+…+b{n-1}+bn
=2+2x2^2+3x2^3+…+(n-1)x2^(n-1)+nx2^n①
2Tn=2^2+2x2^3+3x2^4+…+(n-1)x2^n+nx2^(n+1)②
②-①得，Tn=-2-2^2-2^3-…-2^n +nx2^(n+1)
=-{[2(1-2^n)]/(1-2)}+nx2^(n+1)
=2+(n-1)x2^(n+1)

Answer 2

Sn=1-an，
s(n-1)=1-a(n-1)，
sn-s(n-1)=a(n-1)-an(n≥2），
an=a(n-1)-an，
an/a(n-1)=1/2，
又因S1=1-a1=a1，，a1=1/2
即an/[a(n－1)]=1/2=常数，则{an}为等比数列，且公比是q=1/2，首项是a1=1/2，
则an=(1/2)^n。

bn=an分之n=n*2^n
用错位相减法求和：
Tn=1×2 + 2×2² + 3×2³ + …… + n×2^n ①
2Tn= 1×2² + 2×2³ + …… + (n-1)×2^n + n×2^(n+1) ②
②—①得
Tn=n×2^(n+1) - (2+2²+2³+……+2^n)
=n×2^(n+1) - 2(1-2^n)/(1-2)
=n×2^(n+1) + 2(1-2^n)
=n×2^(n+1) + 2-2^(n+1)
=(n-1)×2^(n+1) + 2