Question

lim(n->∞)[√(1+cosπ/n)+√（1+cos2π/n）+……+√（1+cosnπ/n）]*1/n=

Answer 1

lim(n-->∞) [√(1 + cos(π/n)) + √(1 + cos(2π/n)) + ... + √(1 + cos(nπ/n))] · 1/n
= lim(n-->∞) 1/n · Σ_(k=1-->n) √(1 + cos(π · k/n))
= ∫(0-->1) √(1 + cos(πx)) dx，由公式cos2x = 2cos²x - 1得出1 + cos2x = 2cos²x
= ∫(0-->1) √[2cos²(πx/2)] dx
= ∫(0-->1) √2 · |cos(πx/2)| dx
= √2 · ∫(0-->1) cos(πx/2) dx，在x∈[0，1]中，成立cos(πx/2) > 0，所以消除绝对值
= √2 · 2/π · ∫(0-->1) cos(πx/2) d(πx/2)
= (2√2)/π · sin(πx/2) |(0-->1)
= (2√2)/π · sin(π/2)
= (2√2)/π

Answer 2

楼上算错，别听他的。他用错了公式cos2x = 2cos² - 1，这并不是cos2x = cos²x - 1
lim(n-->∞) [√(1 + cos(π/n)) + √(1 + cos(2π/n)) + ... + √(1 + cos(nπ/n))] · 1/n
= lim(n-->∞) 1/n · Σ_(k=1-->n) √(1 + cos(π · k/n))
= ∫(0-->1) √(1 + cos(πx)) dx，由公式cos2x = 2cos²x - 1得出1 + cos2x = 2cos²x
= ∫(0-->1) √[2cos²(πx/2)] dx
= ∫(0-->1) √2 · |cos(πx/2)| dx
= √2 · ∫(0-->1) cos(πx/2) dx，在x∈[0，1]中，成立cos(πx/2) > 0，所以消除绝对值
= √2 · 2/π · ∫(0-->1) cos(πx/2) d(πx/2)
= (2√2)/π · sin(πx/2) |(0-->1)
= (2√2)/π · sin(π/2)
= (2√2)/π

Answer 3

转化为积分
=∫(从0至1) √(1+cosπx) dx
=∫(从0至1) √[cos²(πx/2)] dx
=∫(从0至1) |cos(πx/2)| dx
=∫(从0至1) cos(πx/2) dx
= (2/π) ∫(从0至1) cos(πx/2) d(πx/2)
= (2/π) sin(πx/2) |(从0至1)
= (2/π) [sin(π/2) - sin(0)]
= 2/π