高等数学 求函数x^2+y^2+2xy-2x在闭区域x^2+y^2<=1上的最大值和最小值

mscheng19
2012-04-18 · TA获得超过1.3万个赞
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f(x,y)=x^2+y^2+2xy-2x,g(x,y)=x^2+y^2-1。
先考虑f(x,y)在圆内的驻点,af/ax=2x+2y-2=0,af/ay=2y+2x=0,无解。
再考虑边界。令F(x,y ,a)=f(x,y)+ag(x,y),驻点方程为
aF/ax=2x+2y-2+2ax=0,
aF/ay=2y+2x+2ay=0,第一个方程乘以y减去第二个方程乘以x得
y^2-x^2=y。再将x^2=1-y^2代入得
(2y+1)(y-1)=0,于是驻点为
(0,1),(根号(3)/2,-1/2),(-根号(3)/2,-1/2)。对应的函数值为
1,1-3根号(3)/2,1+3根号(3)/2。
于是最大值在(-根号(3)/2,-1/2)达到为1+3根号(3)/2,
最小值在(根号(3)/2,-1/2)达到为1-3根号(3)/2
二三楼狗头
2012-04-18 · TA获得超过157个赞
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最大值=1 ; 最小值=-1
设x=cos(a),y=sin(b) ,0<a<π/2
x^2+y^2+2xy-2x=cos(a)^2+sin(a)^2+2cos(a)sin(a)-2cos(a) 此函数求导
导数等于0时 cos(a)=0
所以 当cos(a)=0时 最大值=1
cos(a)=1时 最小值=-1
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