Question

设a属于R,函数f(x)=a乘x3-3x的平方。(1)若函数g(x)=f(x)+f'(x),x属于[0,2],在x=0处取得最大值，求a的取...

设a属于R,函数f(x)=a乘x3-3x的平方。(1)若函数g(x)=f(x)+f'(x),x属于[0,2],在x=0处取得最大值，求a的取值范围？

Answer 1

首先f'(x)=3ax²-3，所以g(x)=ax^3+3ax²-3x-3，则g'(x)=3ax²+6ax-3
由已知，g(x)在[0,2]上递减，所以在[0,2]上g'(x)=3ax²+6ax-3≤0当a＞0时
(下面不再讨论抛物线，而是用简便方法)
则在[0,2]上，a≤1/(x²+2x)恒成立，(则a要比1/(x²+2x)的最小值还要小才能恒成立)
又x²+2x=(x+1)²-1且x∈[0,2],
∴1≤x+1≤3，所以1≤(x+1)²≤9，0≤(x+1)²-1≤8，可去掉0，
则1/(x²+2x)≥1/8，
∴a≤1/8

Answer 2

f'(x)=3ax^2-6x
g(x)=ax^3+3(a-1)x^2-6x
g'(x)=3ax^2+6(a-1)x-6<=0在[1,2]上恒成立。
则有a<=(2x-2)/(x^2+2x)所以(2x-2)/(x^2+2x）的最小值都要比a 大才能恒成立
令 (2x-2)/(x^2+2x）=h(x)
h'(x)=-2*[(x-1)^2-3]/(x^2+2x)^2>0在[1,2]上
所以h(x)的最小值为h(1)=0
所以a<=0

Answer 3

f'(x)=3a^2-6x
g(x)=f(x)+f'(x)=ax^3+3(a-1)x^2-6x
所以g(0)=0，g(2)=20a-24
根据题意有：g(0)>g(2)，即a<6/5

Answer 4

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