Question

已知线段AB=10，点P在线段AB上，且AP=6，以A为圆心AP为半径作⊙A，点C在⊙A上，以B为圆心BC为半径作⊙B，

射线BC与⊙A交于点Q（不与点C重合）．（1）当点Q在线段BC上时（如图2），设BC=x，CQ=y，试求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）当由A、P、Q、C四点构成的四边形是梯形时，求BC的长．

Answer 1

第一问：

         过点A作AD⊥BC于D .

则CD=y/2 , BD=x－y/2 

∵AC=6，AB=10

∴AD²=AC²－CD²=36－y²/4

∴AB²=10² =（x－y/2 ）²+36－y²/4

整理得y=x-64/x  (10＜x＜16)

                第二问： 由题意，直线CQ与AP有公共点B，所以不可能平行，只可能PQ∥AC

此时AB/AP=CB/CQ ，10/6=x/y   又y=x-64/x  

消去y整理得：x²=160，x=4√10。

Answer 2

1：此时：由割线定理：BQXBC=BPXBM M为PA的延长线与圆A的交点，
(x-y)x=4(10+6) ∴y=x-64/x
再来看x的范围 BC最短时，BC恰好为圆A的切线（但不能是切线，因为BC与圆A还有另外一个交点），所以此时x=8 （切割线定理可得）
BC最长时，C与M点重合，此时两圆内切，x=16
所以8＜x＜16 定义域
2：由题意，直线CQ与AP有公共点B，所以不可能平行，只可能PQ∥AC
此时AB/AP=CB/CQ=10/6=x/y 又y=x-64/x
联立可得：x=4（根号10）