Question

10. 如图，正方形ABCD中对角线AC、BD相交于O，E为AC上一点，AG⊥EB交EB于G，AG交BD于F。

10. 如图，正方形ABCD中对角线AC、BD相交于O，E为AC上一点，AG⊥EB交EB于G，AG交BD于F。
(1)说明OE=OF的道理；
(2)在（1）中，若E为AC延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于G，AG、BD的延长线交于F，其他条件不变，如图2，则结论：“OE=OF”还成立吗？请说明理由。

Answer 1

证明：已知正方形ABCD的对角线BD、AC相交于O点，E为OC上一点,AG⊥EB交EB于G，AG交BD于F

设AG⊥EB交EB于M 则∠AME=90°

在△AME与△AOF中

∠AME=∠AOF=90° ∠OAF=∠MAE

则△AME∽△AOF

所以∠AFO=∠AEM 即∠AFO=∠BEO

在△BOE与△AOF中

AO=BO.(正方形对角线相等且互相垂直平分） ∠AFO=∠BEO ∠AOF=∠BOE=90°

则△BOE≌△AOF

所以OE=OF

Answer 2

解：(1）因为四边形ABCD是正方形
所以AO=BO,∠BOC=90°
因为∠OAF+∠BEO=90°，∠BEO+∠OBE=90°
所以∠OAF=∠OBE
在△AOF与△BOE中
∠OAF=∠OBE AO=BO ∠AOB=∠BOC
所以△AOF全等于△BOE
所以OE=OF
(2)同理

Answer 3

第一问的证明如图所示。

第二问的证明完全相同。

Answer 4

⑴ OA＝OB ∠FOA＝∠EOB＝90º ∠OAF＝90º-∠AEB＝∠OBE ∴⊿OAF≌⊿OBE﹙ASA﹚
∴OE=OF
⑵ OA＝OB ∠FOA＝∠EOB＝90º ∠OFA＝90º-∠FAE＝∠OEB ∴⊿OAF≌⊿OBE﹙ASA﹚
∴OE=OF