Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，当x＞0时，f（x）<xf'（x），且f（1）=0，则不等式xf（x）＞0的解集为

Answer 1

设G(x)=f(x)/x，则G'(x)=[xf'(x)-f(x)]/(x^2)
因为f（x）<xf'（x），所以当x＞0时，G'(x)>0
所以函数G(x)=f(x)/x在（0，+∞）上单调递增
又知f（1）=0，所以G(1)=0
所以当x＞1时，有G(x)>G(1)=0,即f(x)/x>0,亦即xf(x)>0
当0<x<1时，有G(x)<G(1)=0,即f(x)/x<0,亦即xf(x)<0
因为f（x）是定义在R上的偶函数，所以G(x)=f(x)/x是奇函数（x≠0）
所以当-1<x<0时，有G(x)>0,即f(x)/x>0,亦即xf(x)>0
所以不等式xf（x）＞0的解集为（-1,0）∪（1，+∞）