Question

设xyz∈R,若有x²+y²+z²=4,则x-2y+2z的最小值是

Answer 1

设x=0 则有y²+z²=4, x-2y+2z=2（z-y）
y²+z²=（y-z）²+2yz=4
（y-z）²=4-2xy 0≤ 2xy ≤4
所以 -2 ≤ y-z ≤ 2 y-x最小值为-2

因为 x-2y+2z=2（z-y）
x-2y+2z的最小值为-4

追问

答案是-6

追答

那么这题就不能按上边的解答啦
可以根据柯西不等式解，(a^2+b^2)(c^2+ d^2)≥(ac+bd)^2

4×9=[1²+(-2)²+2²]×[x²+y²+z²]≥(x-2y+2z)².
解得 ： |x-2y+2z|≤6
所以 ：-6≤x-2y+2z≤6.
其中，当x=2/3,y= - 4/3,z=4/3时，x-2x+2z=6,当x=-2/3,y=4/3,z=-4/3时，x-2y+2z=-6.
故(x-2y+2z)的最大值6, (x-2y+2z)最小值= -6