Question

求教一简单的线性代数题

若A,B均为正交阵，|A|#|B|求证：|A+B|#0
我看了一下，搞错了，sorry，是证明它们相加的行列式等于零

Answer 1

这个结论不对.
反例: A为3阶单位矩阵E3, B=-E3
则A,B是正交矩阵, 且 |A|=1, |B|=-1
但 |A+B| = 0.

补充解: 因为A,B为正交矩阵, 所以 |A|=±1, |B|=±1
再由|A|≠|B|, 所以 |A||B|=-1.

所以 -|A+B|
= |A||A+B||B|
= |A^T||A+B||B^T|
= |A^T(A+B)B^T|
= |A^TAB^T+A^TBB^T|
= |B^T+A^T|
= |(B+A)^T|
= |A+B|
所以有 2|A+B| = 0
所以 |A+B| = 0.

追问

额，谢了，马上就要考试了，想必你一定是那种学有余力的人，请问能否加你QQ向你讨教一下？QQ号码，我hi你，希望你能帮帮忙，thanks！