Question

在数列{an}中，a1=1,a(n+1)=2an/2+an(n

Answer 1

利用：a1=1及a(n＋1)=2an/(2＋an)，得：
a1=1
a2=2/3
a3=1/2=2/4
a4=2/5
猜测：an=2/(n＋1)
证明：
1、当n=1时，an=a1=2/(1＋1)=1，满足；
2、设：当n=k时，ak=2/(k＋1)
则当n=k＋1时，
a(k＋1)=2ak/(2＋ak) 【以ak=2/(k＋1)代入】
=2/[(k＋1)＋1]
即当n=k＋1时也成立
从而得证。

Answer 2

a(n＋1)=(2an)/(2＋an) 【取倒数】
1/[a(n＋1)]=[1/(an)]＋(1/2)
1/[a(n＋1)]－[1/(an)]=1/2=常数，则数列{1/(an)}是以1/(a1)=1为首项、以d=1/2为公差的等差数列，则：
1/(an)=1＋(1/2)(n－1)=(n＋1)/2
则：an=2/(n＋1)