Question

【定积分】换元法求定积分是，使用中间变量替换积分变量时，积分上下限怎么变？

请重点说明：例1中的（1）和（2）孰对孰错；同样的道理，例2中的（1）和（2）孰对孰错？
还有，为什么！
谢谢大神。我的邮箱是：657742588@qq.com，我这里有数学公式编辑器，如果需要的话，我可以发给您哦。

Answer 1

例1的2错了
-t∈[-a,a],t∈[-a,a]
这个地方错了

例2的2错了
x=0,t=0,x=5π/4，t=-√2/2
因此积分区间是[0,-√2/2]

追问

能不能稍微解释下啊，我这个地方怎都不明白。比如例题1（2），-t∈[-a,a],t∈[-a,a]
为什么积分区间就不该是[-a,a]呢？积分区间不是积分变量的区间么？

追答

你说的不错，但是一定要注意，积分的上下限是有顺序的

追问

积分变量是x，x∈[a,b]。换元时，积分变量变为t。
那么求新的积分区间时，应该是：当x=a时，t=c；当x=b时，t=d；新的积分区间为[c,d]
就是这么求是么？

但是，很多题目中，当x∈[a,b]时，可以算出t不一定∈[c,d]，特别是三角函数中。比如图片中的例2.
能不能说下，为什么例2中的（2）做法错误啊？

大神啊，你耐心点回答，我多给你分啊，好不好。谢谢你啊。

追答

你要注意一点，在定积分里t∈[-a,a],和t∈[a,-a]是不一样的，因此积分的上下限刚好是相反的

你所理解的是在单独求t的区间时，是正确的。但在定积分里换元时，上限换出来的就是上限，下限换出来的就是下限，这一点是不可以变化的。

于是
t∈[-a,a],和t∈[a,-a]是不一样的，在定积分里的上下限刚好是相反的，也就是求得的值差一个正负号