Question

已知a b c是全不相等的正实数，求证：b+c-a/a+a+c-b/b+a+b-c/c>3

求解题过程，拜谢哈……O(∩_∩)O

Answer 1

b+c-a/a+a+c-b/b+a+b-c/c
=b/a+c/a-1+a/b+c/b-1+a/c+b/c-1
=(b/a+a/b)+(c/a+a/c)+(c/b+b/c)-3
b/a+a/b>=2
c/a+a/c>=2
c/b+b/c>=2
a b c是全不相等的正实数，上面三个式子的等号不能同时成立
所以
=(b/a+a/b)+(c/a+a/c)+(c/b+b/c)-3
>6-3=3
所以 b+c-a/a+a+c-b/b+a+b-c/c>3

Answer 2

b+c-a/a+a+c-b/b+a+b-c/c=b/a+c/a+a/b+c/b+a/c+b/c-3=(b/a+a/b)+(b/c+c/b)+(a/c+c/a)-3
因为b/a+a/b≥2（a=b时等号成立），
b/c+c/b≥2（c=b时等号成立），
a/c+c/a≥2（a=c时等号成立）
所以(b/a+a/b)+(b/c+c/b)+(a/c+c/a)≥6（a=b=c时等号成立）
又因为a b c是全不相等的正实数
所以b/a+a/b≥2， b/c+c/b≥2， a/c+c/a≥2中的等号不全成立
所以(b/a+a/b)+(b/c+c/b)+(a/c+c/a)>6
所以(b/a+a/b)+(b/c+c/b)+(a/c+c/a)-3>3
即b+c-a/a+a+c-b/b+a+b-c/c>3