Question

数学不等式问题求解！急！

已知a、b都是实数，f(x)=ax^3+x^2-bx+4的图像在点(1，f(1))处的切线与y轴垂直⑴当a=1时解关于x的不等式f(x)+2x>1-6ax②当a=-1/4，0≦x1≦1，0≦x2≦1时，求证：-12≦f(x2)-f(x1)≦1/2
发错了最后那个问是求证：-1/2≦f(x2)-f(x1)≦1/2

Answer 1

已知a、b都是实数，f(x)=ax³+x²-bx+4的图像在点(1，f(1))处的切线与y轴垂直；①当a=1时解关于
x的不等式f(x)+2x>1-6ax；②当a=-1/4，0≦x1≦1，0≦x2≦1时，求证：-1/2≦f(x2)-f(x1)≦1/2
解：① f′(x)=3ax²+2x-b，∵在点(1，f(1))处的切线与y轴垂直，∴f′(1)=3a+2-b=0，即有
b=3a+2；故当a=1时b=5；于是有f(x)+2x=x³+x²-5x+4+2x=x³+x²-3x+4>1-6x..........(1)；
即有x³+x²+3x+3=x²(x+1)+3(x+1)=(x+1)(x²+3)>0，故得不等式(1)的解为x>-1.
②当a=-1/4时b=-3/4+2=5/4；此时f(x)=-(1/4)x³+x²-(5/4)x+4；
令f′(x)=-(3/4)x²+2x-5/4=-(1/4)(3x²-8x+5)=-(1/4)(x-1)(3x-5)=-(3/4)(x-1)(x-5/3)=0
得驻点x₁=1；x₂=5/3；x₁是极小点，x₂是极大点。当x≦1时f′(x)≦0，即在(-∞，1]内f(x)单调
减；[0，1]⊂(-∞，1]，故f(x)在[0，1]内也单调减。在此区间内，maxf(x)=f(0)=4；minf(x)=f(1)
=-1/4+1-5/4+4=-6/4+5=14/4=7/2；∴当x₁，x₂∈[0，1]时有：︱f(x₂)-f(x₁)︱=4-7/2=1/2；
即有-1/2≦f(x₂)-f(x₁)≦1/2，故证。

Answer 2

因为f﹙x﹚=ax³＋x²－bx＋4
所以f﹙1﹚=a－b＋5
f＇﹙x﹚=3ax²＋2x－b
f＇﹙1﹚=3a＋2－b
因为f(x)=ax^3+x^2-bx+4的图像在点(1，f(1))处的切线与y轴垂直，
所以 f＇﹙1﹚=3a＋2－b=0
①不等式解集x＞－1
当a=1时，b=5，所以f﹙x﹚=x³＋x²－5x＋4
关于x的不等式f(x)+2x>1-6ax可以写为x³＋x²－5x＋4＋2x＞1－6x
整理为x³＋x²＋3x＋3＞0
﹙x³＋x²﹚＋﹙3x＋3﹚＞0
提取公因式﹙x＋1﹚·﹙x²＋3﹚＞0
因为x²＋3＞0,所以x＋1＞0,即x＞－1
②当a=-1/4，0≦x1≦1，0≦x2≦1时，
因为 f＇﹙1﹚=3a＋2－b=0，所以b=5／4
所以f﹙x﹚=－x³／4＋x²－5x／4＋4
f＇﹙x﹚=－3x²／4＋2x－5／4=－﹙3x－5﹚·﹙x－1﹚／4
当0≤x≤1时 f＇﹙x﹚＜0
所以f﹙x﹚=－x³／4＋x²－5x／4＋4在0≤x≤1时是减函数
所以f﹙0﹚≤f﹙x﹚≤f﹙1﹚即3.5≤f﹙x﹚≤4
所以-12≦f(x2)-f(x1)≦1/2得证。