Question

对任意实数X都有ax^2+ax+1>0恒成立；命题Q:关于x的方程x^2-x+a=0有实数根。若P和Q有且只有一个为真命题...

对任意实数X都有ax^2+ax+1>0恒成立；命题Q:关于x的方程x^2-x+a=0有实数根。若P和Q有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围
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Answer 1

1）假设P为真命题
则ax²+ax+1＞0恒成立
即函数与x轴无交点，△=a²-4a＜0
解得0＜a＜4
同时a=0时，函数为1＞0，也符合题意
所以0≤a＜4

2）假设Q为真命题
则方程x²-x+a=0有实数根
△=（-1）²-4a≥0
解得a≤1/4

因为P,Q有且只有一个为真
当P真Q假时，1/4＜a＜4
当P假Q真时，a＜0
综上，符合条件的a的范围为（负无穷，0）∪（1/4,4）

Answer 2

若P为真命题,则可得4>a>0
若Q为真命题,则可得1/4≥a
所以a的取值范围是(4,1/4]U[0,-∞)

Answer 3

P成立有: 设P=ax^2+ax+1>0 则有P'=2ax+a 当P'=0时 P有最小值 X=-1/2 将X=-1/2代入P 则有: P=a/4-a/2+1>0 得 a<4 Q成立有: △=(-1)^2-4*1*a≥0 求得 a ≤1/4 当P为真Q为假时 : 1/4<a≤4 当Q为真P为假时: a＜0