Question

在直角梯形ABCD中，AB//DC，AD⊥AB ，AD=DC=2，AB=3，点M是梯形ABCD内或边界上的一个动点，

点N是DC边的中点，则向量AM•向量AN的最大值？

Answer 1

以A点为坐标原点建立平面直角坐标系；设M（x,y)
则A(0,0),B(3,0), C(2,2),D(0,2), N(1,2);
向量AN=(1,2); 向量AM=(x,y),
由向量AM•向量AN=|AM•|AN|cos∠MAN;
知道：向量AM•向量AN取最大值时，M点要落在梯形ABCD的边界上；
直线BC的方程为：y=6-2x;
(1)所以M点落在线段BC上时，y=6-2x, 2≤x≤3;
向量AM•向量AN=x+2y=x+2(6-2x)=12-3x是[2,3]上的减函数；
所以x=2时，向量AM•向量AN取到最大值6；此时，M点运动到C点的位置；
（2）M点落在线段DC上时，y=2, 0≤x≤2;
向量AM•向量AN=x+2y=x+4;0≤x≤2;是[0,2]上的增函数；
所以：x=2时，向量AM•向量AN取到最大值6；此时，M点运动到C点的位置
（3）当M点在梯形ABCD的边界的其他位置运动时，显然此时，向量AM•向量AN的值
不超过6；
综上可知：M点运动到C点的位置时，向量AM•向量AN取最大值6