Question

设函数f(x)=x㏑x+1 （1） 求 单调区间 (2) 若f（x）≤x²+ax+1，求实数a的取值范围

Answer 1

（1）f `(x)=lnx+1,所以，x>1/e,则f `(x)>0; x<0, f `(x)<0
所以f(x)的增区间是：[1/e,+∞),减区间是(0,1/e]
(2)f（x）≤x²+ax+1即：ax>=xlnx-x²; 因为x>0;
所以a>=lnx-x成立，即a>=(lnx-x)max;
设g(x)=lnx-x,则g `(x)=1/x-1=(1-x)/x; 所以x>1时，g `(x)<0; 0<x<1时，g `(x)>0
即g(x)在(0,1]上增函数；[1,+∞)上是减函数；x=1时，g(x)取到最大值-1；
所以实数a的取值范围是;a>=-1

Answer 2

(1)
f(x) =xlnx+1
f'(x) = 1+lnx >0
lnx >-1
x > e^(-1)
单调区间
增加=[e^(-1), +无穷)
减小=(0,e^(-1)]
(2)
f（x）≤x²+ax+1
min f(x) = f(e^(-1)) = 1-e^(-1)
f（x）≤x²+ax+1
x²+ax+e^(-1) >= 0
判别式= a^2-4e^(-1) <=0
a^2 <= 4e^(-1)
-2e^(-1/2)<=a<=2e^(-1/2)