Question

关于三角函数。。疑问大大的、、【求助】

先是三角函数的定义域
简单的还好
复杂的我看答案都看不清楚- -。。
比如
已知函数y=f(x)的定义域是[0，1/4]求f(cos²-1/2)的定义域
答案：依题有
0≤cos²≤3/4
∴1/2≤cos²≤3/4
∴-√3/2≤cosx≤-√2/2或√2/2≤cosx≤√3/2 【疑问1】
∴f(cos²-1/2)的定义域为[2kπ-5π/6，2kπ-3π/4]U[2kπ-π/4，2kπ-π/6]U[2kπ+π/6，2kπ+π/4]U[2kπ+3π/4，2kπ+5π/6] 【疑问2】
得[kπ-π/4，kπ-π/6]U[kπ+π/6，kπ+π/4] 【疑问3】

【疑问1】
1/2≤cos²≤3/4
除了解成这两个
-√3/2≤cosx≤-√2/2或√2/2≤cosx≤√3/2
为什么不可以这个-√3/2≤cosx≤√3/2
就是假如b≤a²≤c
该怎么解？难道是√b≤a≤√c或-√c≤a≤-√b???
正的和正的在一起
负的和负的在一起？

【疑问2】就以这一部吧
-√3/2≤cosx≤-√2/2
我说我的思路吧
我是先想x=30°时候才等于√3/2
而-√3/2就是-cos30°
-cos30°我就用
cos(180°+30°)=-cos30°
cos(180°-30°)=-cos30°
x=210° x=150°
210°=7π/6 150°=5π/6
再想x=45°才是√2/2
-√2/2就是-cos45°
同样cos(180+45°)=-cos45°
cos（180-45°）=-cos45°
x=225° x=135°
225°=5π/4 135°=3/4π

7π/6或5π/6≤x≤5π/4 或3/4π
于是2kπ+7π/6≤x≤2kπ+5π/4
2kπ+7π/6≤x≤2kπ+3/4π
2kπ+5π/6≤x≤2kπ+5π/4
2kπ+5π/6≤x≤2kπ+3/4π
- -!不等式没学好...这是我解出的...
和答案完全不一样...

【疑问3】
就是疑问2的一堆怎么转换为[kπ-π/4，kπ-π/6]U[kπ+π/6，kπ+π/4]

打的好累T.T

辛苦你们了0.0
求详细T.T
我想知道我的思路错在哪

Answer 1

疑问1：
abs（x）表示x的绝对值，则1/2≤cos²≤3/4，可以写成√2/2≤abs（cosx）≤√3/2 ，利用绝对值的知识，就知道cosx取不到（-√2/2，√2/2）之间的值

疑问2：
三角函数cosx一般认为以[-π，π]为定义域，那么显然7π/6应该记为-5π/6，然后利用三角函数在第三象限的图像可以知道-3π/4和它是一对值，其它的以此类推。

疑问3：
首先利用2kπ将结果的4个区间写出来，然后发现[2kπ-5π/6，2kπ-3π/4]和[2kπ+π/6，2kπ+π/4]其实是一对，在图像上正好转过π，于是可以改写为[kπ+π/6，kπ+π/4]；另一个类推，

追问

....
利用绝对值的知识...
利用三角函数在第三象限的图像...
- -。。。
我就是不知道才问的

追答

在数轴上√2/2≤abs（cosx）≤√3/2，可以画出数轴，以1<abs(x)<2 为例，x取不到[-1,1]之间的值

三角函数的图像，可以参考高中数学书上的图，另外可以对照第一象限中45度到60度的图像，用它旋转一周获得结果

Answer 2

【疑问1】
1/2≤cos²≤3/4
除了解成这两个
-√3/2≤cosx≤-√2/2或√2/2≤cosx≤√3/2
为什么不可以这个-√3/2≤cosx≤√3/2
这是基本的解不等式组！！！！解的选择“画数轴”这对你准确确定不等式组的解有帮助！！！！！
我自己看了你的问题所在之处是你对区域解无法定论。原因：你对不等式组的解如何准确确定问题，三角函数的定义域问题及其多重是如何确定解。建议你多看看必修四！！！
错在哪里还没有看清楚么！解的确定就那么让你纠结嘛！

追问

疑问2我的思路错在哪呢T.T
还有接这题是该想的是三角函数图象(那个简谐运动图象)还是坐标轴？

Answer 3

已知函数y=f(x)的定义域是[0，1/4]求f(cos²-1/2)的定义域
依题有 0<=cos²x-1/2<=1/4
1/2<=cos²x<=3/4
1/2<=(cos2x+1)/2<=3/4
1<=cos2x+1<=3/2
0<=cos2x<=1/2
∴2kπ-π/3<=2x<=2kπ+π/3
∴kπ-π/6<=x<=kπ+π/6

追问

我不是问答案- -

Answer 4

三角函数运用单位圆的对称性和坐标系的对称性。主要是要学会转化，把问题抽象实质化。