Question

线性代数问题 设A是mxn矩阵，B是nxm矩阵，且满足AB=E，则（）下面的是选项

要解题的过程步骤，最好能详细点，谢谢
（A）A的列向量组线性无关，B的行向量组线性无关
（B）A的列向量组线性无关，B的列向量组线性无关
（C）A的行向量组线性无关，B的列向量组线性无关
（D）A的行向量组线性无关，B的行向量组线性无关

Answer 1

由 AB=E 知 r(AB)=r(E)=m
所以 m = r(AB) <= r(A) <= m
m = r(AB) <= r(B) <= m
所以 r(A)=r(B)=m
所以A的行向量组线性无关,B的列向量组线性无关.
(C) 正确.

追问

请问m = r(AB) <= r(A) <= m是怎么得到的，我这里不太明白,还有就是行和列线性无关如何去判断

追答

r(AB) <= r(A) 这是矩阵乘积的一个性质 r(AB)<=min{r(A),r(B)}

r(A)<=m 是因为 A 的m行

追问

我不太明白r(AB)<=min{r(A),r(B)} r(Amxn)<=min{m,n},那怎么判断r(A),r(B) 以及m和n中哪个是最小的呀

追答

不管r(A), r(B)哪个小, r(AB) 比 r(A), r(B) 都小

Answer 2

首先作为一般论,用 f 表示与 mxn矩阵 A 对应的,从 K^n 到 K^m 的线性映射,即
f : x ----> Ax

A 的m个行向量线性无关
当且仅当 rank(A)= "Im(f)的维数"=m
当且仅当 线性映射f是满射 (因为f的像是K^m的子空间)

另一方面, 矩阵A的n个列向量线性无关
当且仅当 使得 Ax=0 的 x 只有 0 (=K^n中的零向量)
当且仅当 f的核空间 Ker(f) = {0}
当且仅当 线性映射 f 是单射

现在,用f,g 分别表示与矩阵A,B对应的线性变换
f:K^n ---> K^m , f(x)=Ax;
g:K^m ---> K^n , g(y)=By.
AB=E 等价于说 合成的线性映射 fg 是 恒同映射(记作id或者1),于是
f 是满射 且 g 是单射 (这是来自集合论的基本结果).
所以,A 的行向量线性无关,B 的列向量线性无关.