Question

设f(x)在[a,b]上二阶可导,且f''(x)>0,证明:函数F(x)=(f(x)-f(a))/(x-a)在(a,b]上单调增加

Answer 1

我的证明方法不太好，不过凑合能证出来。
由中值定理，F(x)=(f(x)-f(a))/(x-a)=f‘（c） c∈【a，x】
对任意x1>x,有(f（x1）-f(x))/(x1-x)=f'(c1) c1∈【x，x1】
由于f’‘（x）>0,所以f'(c1)>f(c)
即，(f（x1）-f(x))/(x1-x)>(f(x)-f(a))/(x-a)。。。。。。。。1
证明一个小不等式，这个很容易证，当a/c>b/d,有(a+b)/(c+d)>b/d
把1式代入不等式，有
(f(x1)-f(a))/(x1-a)>(f(x)-f(a))/(x-a)
对任意x成立，所以命题得证

Answer 2

由中值定理可知在[a x]上存在一个数m使得f'（m）*（x-b）/2等于f(x)-f(a)；也即是F(x)=f'（m）/2；m随x的变化而变化，f''(m)是大于零的，f'（m）/2是增函数，也就是说m是随着x的增大而增大的。m是x的增函数所以根据复合函数的单调性可知F(x)是单调增加的。