Question

在△ABC中,AB>AC,P是中线AD上的任意一点,求证AB+PC>AC+PB

Answer 1

延长AD至Q使得PD = QD，则BQ = PC, CQ = PB
只要证:
AB+BQ>AC+CQ
作C关于直线AQ的对称点C'，易知C‘ ， B到直线AQ的距离相等，所以要说明
AB+BQ > AC+CQ = AC' + C'Q，只要说明B到AQ中垂线的距离大于C'到AQ中垂线的距离（可以这么看，不妨设B和C'在中垂线的同侧（否则把其中一个点作对称），然后取Q关于直线C'B的对称点Q'，那么C'点在三角形Q'AB的内部，所以有Q'B + BA = QB + BA > Q'C' + C'A = QC' + C'A)
设A, B, D, Q, C', P到中垂线的（有向）距离为a, b, d, q, c', p（实际上就是在直线AQ上引进了一个坐标系，以AQ中点为原点）
只要说明|b| > |c |
显然由AB > AC知b>c
又P在AD上，说明DQ < AD，进而d > 0
而B,C关于D对称说明b+c = 2 * d > 0
所以c > -b，所以得到了|b| > |c|，证毕
唉，几何不等式就是比较烦，不能凭直观，一目了然的事也要说半天。。。